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Learn more. Herstein or Herstein? Ask Question. Asked 5 years, 7 months ago. Active 2 years, 8 months ago. Viewed 7k times. I don't remember where I read it and now that I was about to buy the book I found out that there two Hersteins: Topics in Algebra Amazon Link and Abstract Algebra Amazon Link I wanted to figure out whether one is more advanced than the other or whether one is sequel to the other.

Now I don't know much more. So my question is: Is one of the two Hersteins a sequel to the other, that is, are they meant to be read in a particular order? And: Is one of them more advanced than the other?

And: Is it a good idea to read both? I cannot tell how much overlap there is. It is the one you will need to master to prepare for graduate work. Add a comment. Active Oldest Votes. Este fenomeno tambikn fue cierto en algunos de 10s otros ejemplos de espacios vectoriales que se dieron. El unico centro de atencion aqui radicara en este concept0 de espacio vecto- rial que contenga algun subconjunto finito que lo genere sobre el campo de ba- se.

Antes de iniciar la discusion del tema, se debe disponer primero de una lista de propiedades formales que sean validas en un espacio vectorial. El lector ya esta tan perfeccionado en el trato con estas cosas abstractas formales, que se le deja la demostracion del siguiente lema.

LEMA 5. Si V es un espacio vectorial. Nos olvidamos de 10s espacios vectoriales por un momento y analizamos las soluciones de ciertos sistemas de ecuaciones lineales en campos. Si examinamos este ejemplo y nos preguntamos: i P o r quC hay infinidad de soluciones de este sistema de ecuaciones lineales? Esta es exactamente la situacion que prevalece en el caso mas general, como se ve en seguida.

Sea F un campo; entonces la n-ada PI,. Se procede por induccidn en r, el nlimero de ecuaciones. Se puede suponer como antes que algun aii 0, y que a,, 0, sin que se pierda generalidad. Se desea eliminar x, de las ecuaciones. Esto completa la inducci6n y de esta manera se prueba el teorema. Una vez establecido este resultado, se puede utilizar libremente en el estu- dio de espacios vectoriales.

Para hacer hincapik, se repite algo que se definio anteriormente en el Ejemplo 8. Sean V un espacio vectorial sobre F y u,, u,,. Se dice que un elemento u E V es. Como se sefial6 en el Ejemplo. Por consiguiente, u,,.

Como se le llamo anteriormente, es el subespacio de Vgenerado sobre F por ul,. En caso contrario, se dice que V es infinite-dimensional sobre F si no es finito-dimensional sobre F. Obstrvese que aunque se ha definido lo que signifi- ca espacio vectorial finito-dimensional, aun no se ha definido lo que significa su dimensi6n. Esto vendra a su debido tiempo. Supongase que V es un espacio vectorial sobre F y que v,,.

Esto sugiere una segunda definicion muy impor- tante, la cual se da a continuacion. Sea V un espacio vectorial sobre F; entonces se dice que 10s elementos v,,. Si 10s elementos v,,. Obstrvese que la independencia lineal depende del campo F. Se prueba el siguiente LEMA 5.

Sup6ngase que v E vl,. Para medir esto, llamese a un subconjunto vl,. Se llega ahora a la tercera definici6n muy importante. Si Ves un espacio vectorial finito-dimensional sobre F, entonces la dimension de V sobre F, que se expresa como dimF V , es n, el numero de elementos de un conjunto generador minimo de V sobre F. En el Ejemplo 7 la dimensi6n de V sobre F es 2. Finalmente, si v,,. Se prueba ahora el LEMA 5.

Sup6ngase que u,,. Dado v E V, en virtud de que v,,. Se llega ahora a otra definici6n importante. Sea V un espacio vectorial finito-dimensional sobre F; entonces v,,. Por el Lema 5. Por consiguiente 10s espacios vectoriales finito- dimensionales poseen bases. En virtud de que v,,. En particular, w,,. De esta manera se tiene donde 10s aii estan en F. Considerese El sistema de ecuaciones homogeneas lineales tiene una solucion no trivial en F e n virtud del Teorema 5. Si PI,. Esto contradice la independencia lineal de w,,.

Por lo tanto, m I n. El teorema resulta luego probado, puesto que un conjun- to generador minimo de V sobre F es una base de V sobre F y el numero de elementos en tal conjunto es por definicion dimF V. Si m 7 - n , entonces m elementos cualesquiera de V son - linealnkte -. Sean w,,. Por consiguiente, La demostracion dada en el Teorema 5. Pero esto establece que w,,. Se concluye esta secci6n con un teorema final del mismo tipo de 10s anterio- res.

Entonces n elemezos cualesquiera de V linealmente ;ndependientes forman -. Se requiere demostrar que si v,,. Sea v E en- tonces v, vl,. De esta manera existen elemen- tos a , a l ,.

Por lo tanto, v,,. Determinese si 10s siguientes elementos de V , el espacio vectorial de las ter- nas sobre W , son linealmente independientes sobre W. Encuentrese una solucion no trivial en ZS del sistema de ecuaciones homo- geneas lineales: 3. Si V es un espacio vectorial de dimension n sobre Z,, p primo, demubtre- se que V tiene pn elementos. Pruebese todo el Lema 5. Conside- rando a V como un espacio vectorial sobre F, pruebese que V no es finito- dimensional sobre F.

Defina el lector lo que crea que debe ser un homomorfismo de espacios vectoriales de V en W , donde V y W son espacios vectoriales sobre F. Si V es un espacio vectorial finito-dimensional sobre F y v , ,.

Si V es un espacio vectorial sobre F de dimension n, pruCbese que V es iso- morfo a1 espacio vectorial de n-adas sobre F Ejemplo 1. DemuCstrese que si a E K, entonces existen ao, a , ,. Sea F u n campo, F [x] el anillo de polinomios en x sobre F y f x 0 en F [x]. Supongase que V es un espacio vectorial sobre K. PruCbese que: a V es un espacio vectorial sobre F.

Sea D un dominio integral con unidad 1, que es un espacio vectorial finito- dimensional sobre un campo F. PruCbese que D es un campo. Nofa: Dado que F 1, que se puede identificar con F, esta en D, la estructura de anillo de D y la estructura de espacio vectorial de D sobre F estan en armonia en- tre si.

Sea V un espacio vectorial sobre un campo infinito F. DemuCstrese que V no puede ser la union corno en la teoria de conjuntos de un numero finito de subespacios propios de V. Muy dijicil. Se le llama a K una extension o campo extension de F , y a F un subcampo de K. En todo lo que sigue en esta seccion se sobreentendera que K 3 F.

Se dice que K es una extension finita de F si, considerado como espacio vec- torial sobre F , dim, K es finita. Se inicia la discusion con el resultado que normalmente es el primer0 que se prueba a1 hablar de extensiones finitas.

Se probara que L es una extension finita de F mostrando ex- plicitamente una base finita de L sobre F. Se empieza por demostrar que, por lo menos, estos elementos generan L sobre F; esto demostrara, por supuesto, que L es una extension finita de F. Sea a E L; dado que 10s elementos v,,. Puesto que w,,. Por el Teorema 5. Puesto que 10s ci son elementos de K y 10s elementos u,,.

Por consiguiente, solo la combinacion lineal trivial, con todos 10s coeficientes cero, de 10s elementos viwj sobre F puede ser cero. Por lo tanto, 10s uiwj son linealmente independien- tes sobre F. Anteriormente se vio que esto era suficiente para probar el teore- ma.

El lector debe comparar el Teorema 5. En virtud de que, por el Teorema 5. De esta manera se satisfa- cen todas las condiciones del Teorema 5. Por consiguiente, [K : F ] divide a [L : F ] , como se afirma en el corolario. Si K es una extension finita de F, se puede decir bastante con respecto a1 comportamiento de 10s elementos de K con relacion a F.

Entonces, dado cualquier elemento u en K existen elementos grado - - al,. De esta manera se pueden encontrar a,, al,. La conclusion de este teorema sugiere seiialar aquellos elementos de una ex- tension de campo que satisfagan un polinomio no trivial. Si K es una extension de F tal que todo elemento de K es algebraico sobre F, se dice que K es una extension algebraica de F. En estos tCrminos el Teorema 5.

El reciproco de esto no es cierto; una extension algebraica de F no necesariamente es de grado finito sobre F. Un elemento de K que no es algebraico sobre F se dice que es trascendente sobre F. Veamos algunos ejemplos de elementos algebraicos en un context0 concre- to. Por consiguiente, b es algebraico sobre Q. Es posible obtener numeros reales que Sean trascendentes sobre Q muy fa- cilmente vtase la Section 6. Sin embargo, el establecer la tras- cendencia de ciertos numeros conocidos requiere un esfuerzo real.

Se puede demostrar que 10s numeros familiares e y a son trascendentes sobre Q. El caso de e fue probado por Hermite en ; la demostracion de que a es trascenden- te sobre Q es mucho mas dificil y fue llevada a cab0 primer0 por Lindemann en Aqui no se examinara a fondo la demostracion de que cualquier nu- mero particular sea trascendente sobre Q. No obstante, en la Seccion 6. Como se vera pronto, 10s numeros algebraicos forman un campo, el cual es un subcampo de C.

Regresamos a1 desarrollo general de la teoria de 10s campos. En el Teorema 5. Damos la vuelta a esta cuestion preguntando: Si K es una extension de F y a E K es algebraico sobre F, jse puede producir de algun mod0 una extension finita de F usando a? La respuesta es si. Esto resul- tara como consecuencia del siguiente teorema, el cual se demuestra en un con- texto un poco mas general de lo que en realidad se requiere. Como en la demostracion del Teorema 5. De manera que para ciertos a,, a , ,.

Afirmamos que Or f 0. Esto prueba el teorema. Teniendo a la mano el Teorema 5. Asi que jcomo producir subanillos de un campo K que contenga a F y Sean finito-di- mensionales sobre F? Tales subanillos, por ser subanillos de un campo, son automaticamente dominios integrales y cumplirian la hipotesis del Teore- ma 5. Los medios para este fin seran 10s elementos de K que Sean algebrai- cos sobre F.

Pero primer0 una definicion. De ahora en adelante se supone que el polinomiop x es mo- nico; se le llama polinomio minimo de a sobre F. Sea a--E. Por lo tanto, p x es irreducible en F Ix]. En forma breve, cualquier expresion polinomica en a sobre F se puede expresar como un polinomio en a de grado n - 1 a lo sumo.

Por la observacion hecha anteriormente, F [ a ] es generado sobre F por 1, a, a2, Ademas, como es posible verificar facil- mente, F [a] es un subanillo de K y como tal, F [a] es un dominio integral. Por consiguiente, por el Teorema 5. Puesto que es generado sobre F por 1, a, a2, Esto implica que a. Por lo tanto, 1, a , a2,.

Dado que F [ a ] es un campo, y no sim- plemente un conjunto de expresiones polinomicas en a , F [a] se denotara por F a. P o r lo tanto, F a es el menor subcampo de K que contiene a ambos F y a. F a se llama campo o extension obtenida a1 agregar a a1 campo F. Ahora se resumen. Supongase -. Entonces F a , el campo obtenido.

Antes de dejar el Teorema 5. Demuestrese que 10s siguientes numeros en 02 son algebraicos. Determinense 10s grados sobre Q de 10s numeros dados en las partes a y c del Problema 1.

Para 10s lectores que hayan cursado Calculo. Demuestrese que es irracional. Si a en K es tal que a 2 es algebraico sobre el subcampo F de K, demostrar que a es algebraico sobre F.

En relacion con la discusion que sigue a1 Teorema 5. Pruebese que cos 1 es algebraico sobre Q. Demuestrese que F a es un campo y que es el menor subcampo de K que contiene a ambos F y a. Sea K un campo finito y F u n subcampo de K.

Aplicando el resultado del Problema 13, demuestrese que un campo finito consta de p n elementos para cierto primo p y cierto entero positivo n. Construyanse dos campos K y F de tal mod0 que K sea una extension alge- braica de F per0 que no sea una extension finita de F.

Continuamos en el estilo de la seccion precedente. Sea E K el conjunto de 10s elementos de K que son algebraicos sobre F. Desde luego, F C E K. Nuestro objetivo es probar que E K es un campo. Una vez probado, se vera un poco acerca de como esta situado E K en K. Esto garanti- zara que E K es un subcampo de K. Puesto que a es algebraico sobre F , digamos de grado m, entonces, por el Teorema 5. Si b es algebraico sobre F de grado n, entonces es algebraico sobre KOde grado n a lo sumo.

Como tal, por el Teorema 5. Esto es exactamente lo que se requeria y el teorema queda demostrado. En dicho caso 10s elementos algebraicos de C sobre Q fueron denominados nu- meros algebraicos; por lo tanto el Teorema 5.

Por lo visto hasta ahora, el conjunto de 10s numeros algebraicos podria ser muy bien todo C. Pero no es asi, ya que si existen numeros trascendentes; se demostrara que esto es cierto en la Seccidn 6. Volvemos a un campo general K. El subcampo E K tiene una cualidad muy particular, la cual se probara en seguida.

Dicha propiedad consiste en que cualquier elemento de K que sea algebraico sobre E K debe estar tambien en E K. Para no hacer una digresidn en el curso de la demostracion que se va a dar, se introduce la siguiente notacidn.

Si a,, a2,. Para probar el teorema, todo lo que se debe hacer es demos- trar que u es algebraico sobre F; esto colocara a u en E K y se habra concluido la demostracidn. Dado que a,, a2,. Afirma- mos que [F a,,. Para tal fin, simple- mente se llevan a cab0 n aplicaciones sucesivas del Teorema 5. Su demostracidn se deja a1 lector. Como u E Kn u , del Teorema 5. Esto situa a u en E K j por la misma defini- cion de E K , y con ello se prueba el teorema.

Existe un teorema famoso debido a Gauss, a menudo calificado como el orema fundamental del algebra, que afirma en terminos de extensiones que la unica extension finita de 6 , el campo de 10s numeros complejos, es C mismo. En realidad este resultado no es puramente algebraico, su validez de- pende profundamente de las propiedades topol6gicas del campo de 10s nume- ros reales.

Sea como fuere, es un teorema sumamente importante en el algebra y en muchas otras partes de la matematica. La formulaci6n del Teorema fundamental del algebra en tkrminos de la in- existencia de extensiones finitas de 6 es un poco diferente de la que usualmente se da. En tales terminos el Teorema fundamental del algebra se transforma en: todo polinomio de grado positivo que tenga sus coeficientes en C tiene por lo menos una raiz en 6.

El significado precis0 de esta proposici6n y su equivalencia con la otra forma del teorema expuesta anteriormente, se acla- raran m h adelante, luego del desarrollo de 10s temas relativos a raices. Un campo L con la propiedad de C descrita en 10s parrafos anteriores se dice que es algebraicamente cerrado.

Si se da por sentado que C es algebraica- mente cerrado teorema de Gauss , entonces, por el Teorema 5. Proporcionese un ejemplo de dos numeros algebraicos'a y b de grados 2 y 3, respectivamente, tales que ab sea de grado menor que 6 sobre Q. Si K 3 F son campos y a,,.

En la antigua Grecia, a diferencia de las otras culturas de la tpoca, 10s matema- ticos griegos se interesaron en la matematica como una disciplina abstracta mds bien que como un caudal de habilidades pragmaticas para hacer cuentas o rea- lizar mediciones.

Desarrollaron notables intereses y resultados en la teoria de 10s numeros y, de manera muy especial, en geometria. En dichas areas formu- laron cuestiones perspicaces. Los problemas que plantearon en geometria -dos de 10s cuales constituiran el tema aqui tratado- son aun de interes y sustancio- sos. El matematico inglks G. Hardy, en su triste per0 encantador librito A Mathematician's Apology Apologia de un matematico , describe a 10s antiguos matematicos griegos como "colegas de otro colegio".

En esta seccion nos referiremos a dos de tales problemas griegos. Pero en realidad la respuesta a ambos surgira como una consecuencia del criterio de constructibilidad, el cual se obtendra. Ahora se plantean dichos problemas y un poco despuks se explicard lo que traen consigo. A pesar de la aparente infinidad de "trisectores de angulos" que afloran cada aiio, la respuesta a ambos problemas es "no". Como se vera, es imposible trisecar el dngulo de 60' usando solo regla y compas.

Antes de llegar a1 significado exacto de 10s mismos problemas, se requiere explicar en terminos explicitos cuales son exactamente las leyes del juego. Por regla no se entendera' una regla graduada -es decir, un instrumento para medir longitudes arbitrarias. Una regla sera simplemente una linea recta, sin nin - guna propiedad cuantitativa o metrica atribuida a ella. Llamemos a un numero real no negativo b longitud constructible si, me- diante un numero finito de aplicaciones de la regla y el compas y 10s puntos de interseccion obtenidos entre rectas y circulos asi construidos, se puede construir un segmento de recta de longitud b, a partir del segmento de recta a1 que se le asign6 longitud 1.

De la geometria cursada en el bachillerato recordamos algunas cosas que se pueden realizar dentro de este marco. Cualquier longitud que se construya sobre una recta se puede construir so- bre cualquier otra recta mediante el uso del compas como instrumento de transferencia o transporte. Se puede trazar una recta paralela a una recta dada que pase por un punto dado.

Se puede construir una longitud n para cualquier entero no negativo n. A partir de estos hechos y utilizando resultados referentes a la semejanza de triangvlos, es posible construir cualquier longitud racional no negativa. Por el momento esto no se realiza, ya que resultara como un caso especial de lo que se hard en seguida. Afirmamos las siguientes propiedades: 1. Si a y b son longitudes constructibles, entonces ab tambien lo es.

Se pue- de suponer que a 0 y b 0, de lo contrario, la proposici6n es trivial. Por geometria elemental, la longitud de P C es ab. Por tanto, ab es constructible.

Se destaca de nuevo que todas las construcciones realizadas pueden llevarse a cab0 con regla y compas.

Desde luego, esto demuestra que 10s numeros racionales no negativos son longitudes constructibles, ya que son cocientes de enteros no negativos, 10s cua- les se sabe que son longitudes constructibles. Sin embargo hay otras longitudes constructibles, por ejemplo, el numero irracional a. Dado que se puede construir con regla y compas el triangulo rectangulo con 10s lados AB y BC de longitud I, por el teorema de Pitagoras se sabe que A C es de longitud a.

Por lo tanto, es una longitud constructible. En las propiedades 1 a 3 se demostro que las longitudes constructibles casi forman un campo. Lo que falta son 10s negativos. Se dice que un n6mero real a es un nu'rnero constructi- ble si 1 a 1, el valor absoluto de a, es una longitud constructible. Pronto se dispondra de un criterio quedice que ciertos nume- ros reales no son constructibles. Esto a su vez permiti- r i demostrar que la respuesta para ambos Problemas 1 y 2 es "no".

Las propiedades 1 a 3 casi resuelven el problema; la propie- dad 1 se debe adaptar ligeramente para permitir valores negativos.

Se dejan a1 lector 10s pocos detalles. La meta siguiente es demostrar que todo numero constructible debe ser un numero algebraico -no cualquier numero algebraico conocido, sin0 uno que satisfaga una condici6n bastante severa.

Todo esto es constructible con regla y compas. Ahora nos dirigimos hacia la condici6n necesaria para que un numero real sea constructible.

Sean K el campo de numeros constructibles y KOun subcam- po de K. Se entiende por el plano de KOel conjunto de todos 10s puntos a, b en el plano euclidiano real cuyas coordenadas a y b estan en KO. Por tanto, encontrar 10s puntos de interseccion de las dos curvas en el plano de KOes lo mismo que hallar 10s puntos de interseccion de una recta en el plano de KOcon una circunferencia a precisamente la situation de que se dispuso anteriormente.

Para producir una longitud constructible a se empieza en el plano de Q, el conjunto de 10s racionales; la regla proporciona rectas en el plano de Q y el compas circunferencias en el plano de Q. Por tanto, btas se intersecan en un punto del plano de una extension de grado 1 o 2 de Q. Puesto que a E L,, se tiene que Q a es un subcampo de L,, por consiguiente, por el corolario del Teorema En forma equivalente, por el Teorema 5. Para que un ndmero real a sea constructible, -.

En forma equivalente, --apolinomio. Ademas, como resulta obvio a la vista, p x es de grado 3. Puesto que 3 no es una potencia de 2, por el Teorema 5. Por lo tanto, el proble- ma de la duplication del cub0 mediante regla y compas tiene respuesta negati- va.

Es imposible duplicar un cub0 de volumen 1 usan- ,- do sola-mente regla y comias: -"- Hemos resuelto ya el clasico Problema 1, asi que volvemos a1 Problema 2, el de la trisection de un angulo arbitrario mediante regla y compas. Si b es constructible, entonces c tambien lo es. Por lo tanto, p x es el polinomio minimo de c sobre Q. Debido a que p x es de grado 3, y 3 no es una potencia de 2, por el Teorema 5.

Por consiguiente no sepuede trisecar el angulo de 60" usando solo regla y compas. Esto responde a1 Problema 2 en forma negativa. E s imposible -. Hay formas mas productivas y placepteras de emplear el tiempo. Existe todavia otro problema clasico de este tip0 cuya respuesta es "no". Es el que se refiere a la cuadratura del circulo. La pregunta es: iSe puede construir un cuadrado cuya area sea la de un circulo de radio 1 usando sola- mente regla y cornpas? Pero Lindemann probo en que a es en realidad tras- cendente, asi que desde luego no es algebraico, y entonces no puede ser constructible.

Por lo tanto, no se puede realizar la cuadratura del circulo de radio 1 mediante regla y compas. Lo que se hizo anteriormente no constituye, por supuesto, una demostra- cion de la imposibilidad de la cuadratura del circulo, ya que se ha presupuesto el resultado de Lindemann sin probarlo. La demostracion de que a es trascen- dente nos llevaria bastante lejos. Se podria esperar que fuera mas facil probar que a no es constructible que probar que no es algebraico.

Este no parece ser el caso. Hasta ahora todas las demostraciones de que a no es constructible se van por el camino de la consideracion de la trascendencia de a. Complktese la demostracion del Teorema 5.

Pruebese que x 3 - 3x - 1 es irreducible sobre Q. Pruebese que el heptagon0 regular poligono de siete lados de la misma lon- gitud no es constructible, usando solamente regla y compas. Sean F [x], como de ordinario, el anillo de polinomios en x sobre el campo F y K una extension de campo de F. Si a E K y entonces se entiende por f a el elemento de K. En lo que se ha hecho hasta ahora siempre se ha dado un campo K exten- sion de un campo F y se consideraron 10s elementos de K algebraicos sobre F, es decir, aquellos elementos de K que son raices de polinomios distintos de cero en F [ X I.

Lo que se hace ahora es invertir el problema. Ya no se dispondra de la ex- tension K de F. En efecto, la tarea principal sera producirla casi desde el princi- pio. Se empieza con cierto polinomio f x de grado positivo en F [ x ] como unico dato; la meta es construir una extension de campo K de F e n la cual f x tenga una raiz. Una vez que se tiene bajo control esta construccion de K, se desarrolla el tema general, obteniendose por ello una serie de consecuencias in- teresantes.

Antes de salir en busqueda del K apropiado, se debe obtener cierta infor- macion con respecto a la relacion de las raices de un polinomio dado y su factorizacion. L es una raiz de un polinomio -. El reciproco es completamente trivial. Supongase Se procede por inducci6n en n. Supongase que el teorema es valido para todos 10s polinomios de grado k - 1 sobre cualquier campo y que f x en F [x] es de grado k. Si f x no tiene raices en K, entonces el teorema es desde luego correcto.

Supongase, entonces, que a E K es una raiz de f x. Por la hipotesis de induc- cibn, q x tiene a lo sumo k - 1 raices en K, por consiguiente f x tiene a lo sumo k raices en K. Esto completa la inducci6n y prueba el teorema. En realidad, la demostraci6n da lugar a un poco mas. Para explicar este "POCO mas", se necesita el concept0 de multiplicidad de una raiz.

El mismo argument0 dado para la demostraci6n del Teorema 5. Sea f x en F [x] m6nico de grado n y supongase. Si tales raices en. La demostracion es facil haciendo uso del Lema 5. Se deja a1 lector llevarla a cabo. Se dice que f x en F [x] se descompone en factores li- neales sobre o bien, en K, si f x tiene en K [x] la factorizaci6n dada en el Teorema 5. Existe una aplicacion agradable del Teorema 5.

Sea F u n campo finito que consta de q elementos y Sean a,, a2, De esta manera el polinomio xq-I - 1 en F [x] tiene q - 1 raices distintas en F. Entonces -. Un caso muy especial. ZP , 10s? En Z,[x], xP-' - 1 se factoriza como xp-'. Como un corolario del corolario, se tiene un resultado de teoria de 10s nu- meros, conocido como Teorerna de Wilson, el cual fue asignado como Proble- ma 18 de la Seccion 2. Si p es primo, entonces p - I! Por el corolario anterior. En 10s enteros esto se traduce en-"congruente rnodp".

Ahora cambiamos de direction para considerar el problema mencionado a1 principio de esta seccion: dado f x E F [XI, ccmstruir una extension finita K de F e n la cual f x tenga una raiz.

Como se vera en un momento, tal construc- ci6n de K sera bastante sencilla cuando se pongan en juego 10s resultados pro- bados en el Capitulo 4 respecto a anillos de polinomios.

Sin embargo, se lleva un poco de trabajo verificar que dicha construccion funciona. Entonces existe una extension finita K de F , con -. Por el Teorema 4. Asi que para probar el teorema es suficiente encontrar una extension de F en la cual p x tenga una raiz. Por consi- guiente, por el Teorema 4. Afirmamos que este es el campo buscado. Estrictamente hablando, K no contiene a F; sin embargo, como se demues- tra en seguida, K si contiene un campo isomorfo a F. Puesto que todo elemento de M es un multiplo dep x en F [XI, todo elemento de M que no sea cero debe tener grado a1 menos igual a1 de p x.

Por consiguiente, la imagen de F e K, F, es un campo isomorfo a F. Se puede identificar F, por medio de , con F y por lo tanto se puede considerar, en esta forma, que K es una extension de F. LA que es igual p x? Esto surgio anteriormente, en la demostracion alter- nativa que se dio del Teorema 5. Seremos ahora un poco mas generosos y lleva- remos a cab0 la demostracion en detalle. Ademas, estos elementos son linealmente independientes sobre F, ya que una relacion del tip0 a.

En otras palabras, se obtiene una contradiccion a no ser que a. Por lo tanto 10s elementos 1, a, a2,. Dado que tambikn generan K sobre F, forman una base de K sobre F. El teorema estd probado. Entonces existe una extension K de F de Eado a lo sumo n! Por la hipotesis de induc- cion existe una extension K de K, de grado a lo sumo k!. Pero entonces f x se descompone en factores lineales sobre K.

Dejamos el tema de las extensiones de campo hasta este punto. Estamos exactamente en lo que se podria describir como el principio de la teoria de Ga- lois. Dada una extension K de F de grado finito sobre la cual un polinomio da- do f x se descompone en factores lineales, existe una extension de grado minimo que goza de esta propiedad. Tal extension se denomina campo de des- composicidn de f x sobre F. Luego se procede a demostrar que tal campo de descomposicion es dnico salvo isomorfismos.

Una vez que se cuenta con esto la teoria de Galois avanza sobre ruedas, estudiando la relacion entre el grupo de automorfismos de dicho campo de descomposici6n y su estructura de sub- campo. Con el tiempo, conduce a la demostracion, entre muchas otras cosas, de que existen polinomios sobre 10s racionales de cualquier grado mayor que o igual a 5 cuyas raices no se pueden expresar comodamente en terminos de 10s coeficientes de tales polinomios.